Otros problemas - del 11 al 20

Ejercicio 11.

Encontrar todas las funciones tales que

(OME-fase local, 2005)

Solución

Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas y basta despejar para acabar. Resulta

Ejercicio 12.

Sea un entero no negativo. Demostrar que la ecuación

tiene solo soluciones enteras y determinarlas. ( representa el n-ésimo número de Fibonacci, definido por , y, para , )

(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)

Solución

Los divisores de son posibles soluciones enteras de la ecuación. Si probamos con , obtenemos que es una solución de la ecuación, y es entera dado que es entero para todo como se puede ver fácilmente por inducción. Además, la parte izquierda de la ecuación se factoriza como:

Entonces las otras soluciones de la ecuación son las soluciones de la ecuación bicuadrada . Si resolvemos esta última ecuación para los primeros valores de , vemos que una de las soluciones positivas parece ser . Comprobamos que es una de las soluciones positivas para todo .

Para ello, obtenemos una expresión explícita para : La ecuación de recurrencia tiene como ecuación característica , con soluciones , así que la solución general de la recurrencia es . , es la única solución de la recurrencia con y , por tanto , y entonces y , por lo que

Ahora sustituimos este último valor en la ecuación bicuadrada:

Entonces, como la ecuación es bicuadrada, se cumple que , son dos soluciones enteras de la ecuación.

La otra solución positiva de la ecuación bicuadrada, llamémosla , parece ser la solución de la recurrencia de Fibonacci , con las condiciones iniciales y . Buscamos una expresión explícita para :

, y entonces y ,

Ahora sustituimos este último valor en la ecuación bicuadrada para comprobar que la satisface:

Por tanto, las otras soluciones de la ecuación son y , que son enteras dado que es entera, como puede verse fácilmente por inducción.

Observación

El número definido en la solución es el conocido como n-ésimo número de Lucas

Ejercicio 13.

Determinar para qué valores enteros del parámetro existen soluciones enteras de la ecuación

(Propuesto en La Gaceta de la R. S. M. E.- Problema 66)

Solución

La ecuación se puede escribir como , ecuación de Fermat de grado 3, luego sólo tiene las soluciones enteras triviales y , imposible, ó y , luego es el único valor entero para el que la ecuación tiene solución entera.

Observación

No se puede dar la solución trivial , ya que entonces . Se dará esta solución racional para , valor hallado antes; es por tanto el único valor racional para el que la ecuación tiene solución racional.

Ejercicio 14.

Resolver en los enteros positivos la ecuación

(Propuesto en La Gaceta de la R. S. M. E.- Problema 80)

Solución

La ecuación es equivalente a , luego una solución con naturales es una forma de expresar 15 como el producto de 2 números naturales, ya que si , tenemos que y , por lo que, al ser el producto positivo, se cumple que .

Como , será , luego las únicas opciones son:

, , ,

Observaciones

1) Como la ecuación también es equivalente a , el resultado nos dice que sólo hay 2 valores de tales que divida a , que son , para el que los 2 polinomios valen 5, y , para el que el primer polinomio vale 15 y el segundo 60

2) Si buscamos todas las soluciones enteras a la ecuación, tendríamos también:

, , , , , ,

, , , , ,

Ejercicio 15.

Probar que, si es convergente y existe , entonces

Solución

Si , entonces para suficientemente pequeño tal que , tenemos que existe un número tal que, para , se cumple que , y entonces , por lo que , contradicción con que es convergente. De forma análoga podemos probar que no puede ser negativo.

Ejercicio 16.

Probar ó buscar contraejemplos para las siguientes proposiciones:

a) Sea una función continua y tal que en para algún , y con . Entonces, existe

b) Sea una función continua y tal que en para algún , y con . Entonces, existe

c) Sea una función derivable y creciente en para algún , y con una asíntota horizontal en . Entonces, existe

d) Sea una función derivable y estrictamente creciente en para algún , y con una asíntota horizontal en . Entonces, existe

Solución

a) Es falso: Si consideramos la función:

para , , es una función bien definida,

dado que los intervalos no se solapan: , lo que se cumple para

Tenemos también que y es continua en ( es "unión de triángulos" definidos en y de altura 1):

)

Además,

Pero no existe, dado que , y

b) Es falso: Si consideramos la función:

para , , Tenemos que y es continua en , ya que es "unión" de segmentos uniendo puntos con segunda coordenada positiva:

Calculamos las áreas debajo de los tres segmentos definiendo :

El área debajo del primer ó el segundo segmento es , y el área debajo del tercer segmento es

, por lo que

, ya que todos los denominadores tienen grado al menos dos

y los numeradores son constantes.

Pero no existe, dado que , y

c) Es falso: Si consideramos la función , para la función del apartado a), tenemos que es derivable dado que es continua, y , por lo que es creciente, y , luego tiene una asíntota horizontal en , pero, al ser , el no existe.

d) Es falso: Si consideramos la función: , para la función del apartado b), tenemos que es derivable dado que es continua, y , por lo que es estrictamente creciente, y , luego tiene una asíntota horizontal en , pero, al ser , el no existe.

Observación

F se aproxima a la asíntota horizontal con infinitos cambios de convexidad:

Ejercicio 17.

Sea una función tal que y . Probar que

(Propuesto por José Luís Díaz Barrero)

Solución

Vemos primero que existe una función cumpliendo las condiciones del enunciado.

Para ver esto, definimos primero inductivamente, para todo , una función en tal que para , si ,

Para , como es continua y Lipschitziana respecto a en (, y esta última función es acotada en R, dado que es continua y ), existe una solución de la E. D. O. en tal que , por una variación del teorema de Picard, luego definimos como esta solución.

Supongamos que hemos definido en con las condiciones requeridas, y consideramos ahora el problema de Cauchy , con .

Como g es también continua y Lipschitziana respecto a en (, y esta última función es acotada en R, dado que es continua y ), existe una solución del mencionado problema de Cauchy en , así que definimos como esta solución.

Entonces podemos definir como si .

Observamos que está bien definida, ya que , luego es continua en y, para , se cumple que

Para tenemos que

, luego tenemos también que

, para todo (para , sólo tenemos que tener en cuenta ). Además, se cumple que .

Vemos ahora que tiene límite: Como para , es estrictamente creciente en , así que tiene límite .

Integrando a los 2 lados de la ecuación inicial, tenemos que, para ,

(La desigualdad es porque es una función creciente, luego para , para ). Entonces tenemos que

Tomando límites, llegamos a

Ahora, consideramos la función .

Vemos que es estrictamente decreciente en :

Estudiar el signo de esta función para es equivalente a estudiar el signo de . Tenemos que

para , luego es estrictamente decreciente y

, por lo que para , y entonces , por lo que es estrictamente decreciente en , y entonces es estrictamente decreciente en , y entonces, dado que , tenemos que

, por lo que .

Ejercicio 18.

Resolver el problema de Cauchy , , para , funciones derivables y positivas en

Solución

La E. D. O. es equivalente a . Tiene el factor integrante , dado que . Por tanto, la solución general es . Para encontrar , vemos que

, luego la solución general queda .

Como , tenemos que , luego la solución al problema es:

Observación

En el caso particular y , la ecuación es similar a la del problema anterior: . Según lo visto antes, la solución del problema de Cauchy es

, esto es,

En este caso, como para , tenemos que la solución es estrictamente decreciente, y su límite es : Si el límite fuera finito, tomando límites en los 2 lados de la última igualdad cuando , tendríamos , contradicción.