Ejercicio 1

 Sea  y supongamos que existe un ,tal que

 

para todo . ¿Es cierto entonces que  para todo ?

(Definición de _; Una función pertenece a  si su derivada es continua en  )

(30/7/1994-Problema 1)

 

Solución

Supongamos que no fuera cierto, esto es, que existiera un cierto  para el cual .

Subdividimos el intervalo en intervalos de la forma , con , siendo  la parte entera. Entonces habrá un mínimo  con   tal que  y en el intervalo  existe un  tal que. Por simetría en el razonamiento supongamos que . Puesto que estamos trabajando con una función continua en un intervalo cerrado y acotado, , ó  si el mínimo  es ,    alcanzará el máximo absoluto, y además, sabemos que este máximo es estrictamente mayor que 0. Sea  y  el mínimo punto del intervalo  en el que  alcanza su máximo, que existirá porque  es continua.

Entonces por el teorema de Lagrange tendremos que existe un  tal que , contradicción, por lo que  para todo .

 

 Ejercicio 2

 Sea  una función dada por 

a) Prueba que  alcanza su mínimo y su máximo absoluto.

b) Determina todos los puntos  tales que  y determina para cuáles de ellos alcanza un extremo relativo o absoluto.

(30/7/1994-Problema 2)

 

Solución

a) La función es una función diferenciable, y por tanto continua, en el plano.

Puesto que f es una función continua, en un círculo centrado en el origen y de radio 1 alcanzará su máximo y su mínimo absoluto. Demostremos que en el complementario del círculo la función está acotada entre [-1/e, 1/e]:

Es evidente, ya que , al ser  .  Por tanto, como en el círculo de radio 1 se alcanzan los valores f(1,0)=1/e, f(0,-1)=-1/e, la función alcanza su máximo y mínimo absoluto.

b) Calculemos ahora sus derivadas parciales:

.

Es fácil ver que éstas son iguales a 0 si y sólo si:

.

Basta con sustituir y encontrar el valor de f en cada punto para ver que:

f(1,0)=f(-1,0)=1/e son máximos  absolutos y que f(0,1)=f(0,-1)=-1/e  son mínimos absolutos, ya que f(0,0)=0. El punto (0,0) se comprueba con la matriz Hessiana que es un punto de silla, esto es no es máximo ni mínimo local ni absoluto.

Otra forma de hacerlo:

Vimos en la primera solución que (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1) y (0,0) son los puntos críticos de f. Con la matriz Hessiana se puede ver que en (1,0), (-1,0) se alcanzan máximos relativos, en (0,1), (0,-1) se alcanzan mínimos relativos y (0,0) es un punto de silla. Vamos a ver que en (1,0), (-1,0)  f. alcanza su máximo absoluto, y que en (0,1), (0,-1) f  alcanza su mínimo absoluto, por lo que la función alcanza su máximo y mínimo absoluto:

Para ello, hay que ver que  , y que  .

La primera desigualdad es equivalente a . Entonces, como , basta con ver que . Si hacemos el cambio de variable , esta última desigualdad queda , luego basta con ver que  para todo . Pero  si ,  si , por lo que  tiene el mínimo global en el 1, y entonces , como queríamos.

La segunda desigualdad es equivalente a . Entonces, como , basta con ver que , es decir, que , lo que ya hemos visto para demostrar la primera desigualdad.

 

 Ejercicio 3

Sea  una secuencia de números reales positivos tales que . Halla  donde ln denota el logaritmo neperiano.

(1997-Primer día, Problema 1)

 

Solución

 es una suma de Riemann de  en , por lo que:

(En la última igualdad hemos aplicado la regla de L’Hopital a la función )

 

 Ejercicio 4 

Supongamos que  es convergente. ¿Son las siguientes sumas también convergentes?

a)      

b)      

(1997-Primer día, Problema 2)

 

Solución

a) Sea  y , donde  es la sucesión que debemos sumar.

Entonces  para . (Ya que entre los términos  y , se suman todos los términos entre   y )

Como  converge, donde , y como , con

, al ser  convergente, podemos ver que

, ya que 

Entonces la suma del apartado a) es convergente.

Otra forma de verlo es: Como  y  converge, por lo que , y como ,  cuando , se cumple que:

, por lo que

b) No se cumple necesariamente: la suma  con 

 

converge por el criterio de Leibniz y la serie del apartado b) no converge.

Otra forma de verlo: Si agrupamos los términos con – y los que tienen +, la serie del apartado b) se puede poner como . Operando ahora impares con pares, queda que esto último es igual a:

. Esto es una serie de términos negativos, pero si consideramos la serie correspondiente de términos positivos, queda que  si , por lo que:

, serie divergente, por lo que por el criterio de comparación  es divergente, y entonces la serie que nos dan es divergente.

 

 Ejercicio 5

Sea M una matriz invertible de dimensión , representada, en bloques de la siguiente forma: , y 

Demuestra que .

(1997-Segundo día, Problema 2)

 

Solución

 

 

 Ejercicio 6

a) Sea la aplicación lineal  del espacio de matrices  con entradas reales, esto es:

(1)        para todo . Prueba que existe una única matriz  tal que para toda 

b) Supongamos además de (1) que

(2)        para todas . Prueba que existe  tal que  para toda 

(1997-Segundo día, Problema 4)

 

Solución

a) Primero probaremos que si C existe, entonces C es única. Después probaremos que la matriz  existe.

i) C es única:

Sea  una matriz cuyo elemento  vale 1, y con todos los demás elementos 0

Supongamos que tenemos  distintas matrices tales que  Entonces:

Por tanto: . Esto da una contradicción, así que hemos probado que C es única.

ii) C existe:

Sea, con . Como  es lineal:

b) Sabemos que . Además, tenemos que

. Entonces:

, por lo que podemos concluir que:

, si , y   si , luego  y .

Otra forma de acabar: Como  y para toda , tomando  tenemos que

, para todo , luego los elementos de la diagonal de  son iguales. Por otro lado, tomando , tenemos que

, para todo , luego los elementos de fuera de la diagonal principal son 0 y 

 

 Ejercicio 7

a) Sea  una función continua. Decimos que  “cruza el eje” en  si  y en cualquier entorno de  existen  con .

Da un ejemplo de una función continua que “cruce el eje” infinitas veces.

(1997-Segundo día, Problema 6)

 

Solución

 es continua ya que  es continua en (0,1] y

ya que está acotada, y es fácil ver que cruza el eje infinitas veces, cada vez que , con : Si , se cumple que . Además, para los  tales que  para algún , es decir, los  tales que , se cumple que , acercándose esos intervalos a  cuando  tiende a infinito. Por otro lado, para los  tales que  para algún , es decir, los  tales que , se cumple que , acercándose también esos intervalos a  cuando  tiende a infinito. Por tanto, en cualquier entorno de  habrá puntos en los que la función es positiva y otros en los que es negativa, como queríamos.

 

 

Ejercicio 8

La función  es dos veces diferenciable con continuidad y satisface que . Prueba que existe un número real  para el que 

(1998-Primer día, Problema 4)

Solución

Sea . Como  es dos veces diferenciable con continuidad,  es continua.

En [0,1] la función  alcanza un máximo y un mínimo.

Sea  el punto donde se alcanza el máximo. Entonces si , se cumple que . (Cabría la posibilidad también de que, pero en ese caso , como queríamos)

Sea  un punto donde se alcanza el mínimo. Entonces si , se cumple que . (Cabe la posibilidad también de que , pero en ese caso , como queríamos)

Como dijimos antes, g(x) es una función continua en [0,1], y g(x)<0, g(y)>0 para algunos . Si aplicamos el teorema de Bolzano, podemos asegurar que  existe.

Notas:

1) No se han considerado los casos en que el máximo se alcanza en 0 ó el mínimo en 1. En esos casos es importante la condición de los valores de  en los extremos, ya que, si quitamos por ejemplo la condición , puede haber contraejemplos, como la función , que tiene el máximo en , el mínimo en , cumple las otras dos condiciones , , pero

. Habrá que ver entonces cuando no hay máximo ó mínimo relativo dentro del intervalo si también se cumple  cuando se dan las condiciones:

2) El problema propuesto en la IMC era en realidad más difícil que el enunciado aquí, ya que no se imponía que  fuera una función continua, sólo que existiera.

 

 Ejercicio 9

Sea P un polinomio de grado n que tiene sólo raíces reales y coeficientes reales.

a) Prueba que para todo real x, se tiene la siguiente desigualdad:

b) Halla los casos en los que se alcanza la igualdad.

(1998-Primer día, Problema 5)

Solución

Sea . Entonces  será

, y  es

. Entonces la desigualdad se puede escribir como:

Ahora tenemos dos secuencias , así que si aplicamos la desigualdad de Chebishev obtenemos:

, como queríamos.

La igualdad se alcanza si y sólo si , esto es si:

, .

Nota:

La desigualdad de Chebishev es una consecuencia inmediata de la desigualdad de Reagrupamiento

 

 Ejercicio 10 

Sea  una función continua con la propiedad de que para todo x e y en el intervalo,

a) Demuestra que 

b) Encuentra una función que satisfaga la condición para la que se alcance la igualdad.

(1998-Primer día, Problema 6)

 

Solución del apartado b)

La función , , efectivamente cumple las condiciones: si consideramos la función , con , tenemos que para cualquier  el máximo absoluto de esa función es 1, ya que , teniéndose que:

, , 

 Se cumple además que , al ser  el área de un cuarto de círculo de radio 1